Cómo Desarrollar Un Binomio De La Forma (a+b)n Con El «Binomio De Newton»

A la suma de los términos a + b se denomina binomio. Algunas veces es necesario considerar (a+b)n , donde n, el exponente es un entero positivo (n >0) grande. El  «Teorema del Binomio» nos proporciona una fórmula, dónde (a+b)n se puede desarrollar como una suma.

Iniciemos considerando los casos especiales, donde si se efectúan ciertas reglas multiplicando, se obtiene el resultado.

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²

2. (a + b)³ = a³ +3a²b + 3ab² + b³

3. (a + b)4 = a4 + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b4

4. (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab + b5

Estos cuatro binomios de la forma (a + b)n, desarrollados para n = 2, 3, 4, 5. Tienen las siguientes propiedades:

Propiedades Del Teorema Del Binomio (a + b)n

  1. Siempre habrá n + 1 términos, siendo el primero an, y el último bn. Es decir, si n = 4, habrá n + 1 términos en el desarrollo, es decir 5 términos.
  2. Al pasar de cualquier término al siguiente, la «potencia de a decrece en 1 y la de b aumenta en 1», siendo la suma de ambas potencias igual a n en cada término. Esto lo podemos observar en estos ejemplos, y otros a desarrollar.
  3. Cada término es de la forma (c)an-kbk, donde el coeficiente c es un número real, y k = 0, 1, 2, 3, . . . n. Podemos observar que «k representa el exponente de b», a medida que este aumenta desde el primer término b0 hasta el último término bn.
  4. La siguiente fórmula es válida para cada uno de los primeros n términos del desarrollo del binomio.

binomio de newton

Esta fórmula se cumple para determinar los coeficientes en el desarrollo del binomio. Observemos que en el siguiente ejemplo:

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab + b5

El segundo término es 5a4b, de ahí que el coeficiente del siguiente término (3.o término) saldrá de multiplicar el coeficiente del 2.o término (5), por el exponente de a (4), y dividiendo este producto por la posición del término (2), es decir: 

Coeficiente del 3.o término = (5 x 4) / 2 = 10. Así que el 3.o término es 10a³b².   

Se procede así para obtener los coeficientes de los siguientes términos, según indica la fórmula.

Coeficiente del 4.o término = (10 x 3) / 3 = 10. Así que el 4.o término es 10a2b3.   

Coeficiente del 5.o término = (10 x 2) / 4 = 10. Así que el 5.o término es 5ab4.

Coeficiente del último término (6.o término) = (5 x 1) / 5 = 1. Así que el 6.o término es b5. Es así como se obtuvo el desarrollo de

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab + b5   , según la fórmula.

Consideremos ahora (a + b)n, donde n es un entero positivo arbitrario, como ya sabemos el primer término del desarrollo es an, y su coeficiente 1; «del punto 4 en la fórmula del teorema del binomio», podemos deducir los coeficientes sucesivos de los siguientes términos según la tabla.

binomio de newton

Como podemos ver en la tabla, «los coeficientes sucesivos se generan a partir del coeficiente 1 y exponente de a = n en el primer término». El exponente de a disminuye en 1 al pasar al siguiente término. De tal manera que el último coeficiente que hemos calculado es el del quinto término, según el «número de orden del término» con el que hacemos los cálculos; en este caso se ha dividido entre la posición del término (4) para generar el siguiente (coeficiente del 5.o término).

De manera análoga, el coeficiente del sexto término sería:

desarrollo binomio de newton

De esto podemos deducir que el «coeficiente del término (k + 1)-ésimo» en el desarrollo de (a + b)n es:

desarrollo del binomio de newton

La fracción anterior se puede escribir haciendo uso de la «notación factorial» para el desarrollo del binomio. Si n es un entero positivo, y se usa el símbolo n! (que se lee «factorial n») donde n es un entero positivo mayor que cero, n > 0.

Así, el «factorial de n» se define como:

factorial de un numero entero positivo

Donde n! es el producto de los primeros n enteros positivos «disminuidos en 1 en cada factor». Algunos ejemplos son:

factoriales de números enteros

Para asegurar que algunas fórmulas se verifican para todos los enteros no negativos, se ha definido al cero factorial como 0! = 1 (cero factorial es igual a 1).  

Observe también que «para valores mayores de n» podemos escribir:

factorial de un numero entero positivo

es decir,                     9! = 9 x 8 x 7 x 6! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5! 

Y así sucesivamente. De ahí que la fórmula parta determinar el «coeficiente (k + 1)ésimo» en el desarrollo de (a + b)n  se puede escribir como:

formula del coeficiente binomio

Al resultado final de esta fórmula se le llama «coeficiente binomial», y se representa con la siguiente notación.

Fórmula Para Calcular Los «Coeficientes Binomiales» Del Desarrollo De Un Binomio

formula coeficientes binomiales

En el siguiente ejemplo calcularemos los «coeficientes binomiales» del desarrollo de (a + b)5 , los cuales ya han sido calculados previamente siguiendo las propiedades de la fórmula del teorema del binomio.

Para este caso recordemos que n = 5, valor que representará el primer exponente de a, y que k = 0, 1, 2, . . . 5, representa los exponentes de b en crecimiento, a medida que se calculan los coeficientes de los siguientes términos.

coeficientes factoriales del binomio de newton

Observe que no es necesario desarrollar por completo la multiplicación de los factores de un número factorial, es decir, estos pueden ser anulados cuando en el numerador y el denominador hay factoriales iguales, con lo que se simplifica la operación para encontrar el coeficiente binomial.

Habiendo calculado los coeficientes binomiales, y teniendo como precedente las propiedades del teorema del binomio que hemos visto en esta clase, podemos enunciar el «teorema del binomio haciendo uso de los coeficientes binomiales».

Teorema Del Binomio «Binomio De Newton»

Binomio de newton ejemplos

Como ya es previsible, este teorema lo podemos entender con las explicaciones que hemos venido dando en esta clase, y los ejemplos a continuación se pueden resolver haciendo uso de las fórmulas generales para el teorema del binomio, o haciendo uso de la propiedad 4 que hemos mencionado en un principio.

Ejemplos 1

Determinar el desarrollo binomial de (2x + 3y2)4.

Utilizando el teorema del binomio, a = 2x, b = 3y2, y n = 4.

coeficiente Binomio de Newton

Determinando los coeficientes binomiales y multiplicando factores tenemos:

binomio de newton ejemplos

Ejemplo 2

teorema del binomio para hallar el coeficiente

Determinando los coeficientes binomiales y simplificando, tenemos:

teorema del binomio para hallar el coeficiente

Ejemplo 3

teorema del binomio para hallar el coeficiente

Como ya sabemos n = 13, y k = 0, 1, 2, 3, . . .  13. representa el orden y exponente de b a medida que este aumenta, para este ejemplo el exponente de b en el quinto termino es 4, y el de a = n – k, es decir, 13 – 4 = 9. teorema del binomio ejercicios resueltos

Ya con esto es fácil plantear el quinto término del desarrollo de este binomio. 

teorema del binomio ejercicios resueltos

Ejemplo 4

teorema del binomio ejercicios resueltos

Como ya sabemos de las propiedades del teorema del binomio, siempre habrá n + 1 término en el desarrollo, en este caso habrán 16 términos, y como nos piden los últimos dos términos, sabemos que el exponente de b en el término número 15 es 14, y en el término número 16 es 15. También sabemos que el exponente de a en los respectivos términos es a = n – k.

Con estos datos ya podemos calcular los dos últimos términos del desarrollo.

El término No. 15 es: 

teorema del binomio ejercicios resueltos

Del las propiedades del teorema del binomio, sabemos que el último termino será bn.

En este caso, el último término es bn, es decir: teorema del binomio ejercicios resueltos

Solo para aclarar, recordemos que el signo de un termino en el desarrollo del binomio lo determina el exponente, es decir, todo número negativo elevado a un exponente impar, dará como resultado un número negativo, caso contrario, todo número negativo elevado a un exponente par, dará como resultado un número positivo. 

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