Propiedades Del Logaritmo Con Ejercicios Resueltos

Para mayor aclaración, la definición de logaritmo de un número real positivo en una base de logaritmo determinada, es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número (el logaritmo).

La siguiente es la representación de dicha definición, y dice que el logaritmo de x con base a está definido por

propiedades de los logaritmos

para toda x > 0 (positiva) y todo numero real y.

Se debe tener en cuenta que la base a del logaritmo debe ser positiva y diferente de 1, es decir, a > 0 y a ≠ 1.

La ecuación logarítmica tiene su forma equivalente, que es la ecuación exponencial, y es obligación de cada estudiante adquirir la destreza de pasar de una forma a otra.

propiedades de los logaritmos

Como puede observarse, tanto en la ecuación logarítmica como en la ecuación exponencial las bases (base a) son las mismas.

La siguiente ilustración puede darte más claridad, respecto a la definición de logaritmo de un número real positivo y su forma equivalente.

Formas logarítmicas expresadas en su forma exponencial:

logaritmos ejemplos de cada propiedad

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Veamos los siguientes ejemplos.

Encontrar El Exponente Para Las Siguientes Formas Logarítmicas

ejemplos de logaritmos resueltos

Solución. 

Conociendo la forma logarítmica, podemos hallar el exponente pasando a la forma exponencial, siempre y cuando se pueda descomponer el número como una potencia de igual base que la base del logaritmo, veamos.

Haciendo uso de la definición de logaritmo:

ejemplos de logaritmos resueltos

Procedemos de la misma manera con los siguientes ejercicios.

Como sabemos lo que se quiere encontrar es el exponente. Conocida la forma logarítmica aplicamos la definición para pasar a la forma exponencial.

propiedades logaritmos ejemplos resueltos

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logaritmos ejercicios resueltos paso a paso

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De estos ejemplos podemos definir algunas propiedades por simple inspección.

Propiedades Básicas Para La Interpretación De Logaritmo

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Ahora que ya hemos definido algunas cuestiones básicas sobre logaritmo, pasemos a resolver ecuaciones logarítmicas pero antes de ello debemos tener claro cuales son las propiedades que podemos necesitar ante este tipo de ejercicios.

propiedades de los logaritmos con ejemplos

Lo anterior es la definición de logaritmo común, un logaritmo con base 10, la cual puede ser omitida pero queda sobrentendido a menos que se especifique otra base. Este tipo de logaritmo se usan para cálculos numéricos complicados que contienen productos, cocientes y potencias de números reales. Además, la base 10 está bien adaptada para números que se expresan en forma científica.

Habiendo visto la interpretación de logaritmo como exponente, es razonable que esto nos conduzca a las leyes siguientes, que son fundamentales para todo trabajo con logaritmos.

Leyes de Logaritmos Con Ejemplos

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Si u y w denotan números reales positivos, entonces podemos enunciar las siguientes leyes.

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La leyes corresponden a (1) la ley del producto es igual a la suma de los logaritmos de cada factor. (2) la ley del cociente es igual a la resta de los logaritmos de cada termino (numerador y denominador). (3) la ley de una potencia, en este caso el exponente se convierte en un factor que multiplica al logaritmo. Veamos los siguientes ejemplos:

Los siguientes ejemplos nos ayudarán a comprender el uso de las leyes de los logaritmos y nos darán la destreza para poder resolver otros ejercicios.

Ejemplo 1

leyes de logaritmos con ejemplos

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Como pudimos observar el ejercicio fue resuelto en tres pasos haciendo uso de las leyes, y también recordando que un radical puede ser escrito como un exponente racional, en el caso de la raíz cuadrada 1/2.

Ejemplo 2

propiedades de los logaritmos naturales

propiedades de los logaritmos ejercicios resueltos

Ejemplo 3

propiedades de los logaritmos ejercicios resueltos

Ejemplo 4

logaritmo natural ejercicios resueltos paso a paso

Como ya lo estudiamos a lo largo de este artículo, los logaritmos de números negativos no están definidos, por tanto la única solución es x = 2.

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